lunes, 14 de noviembre de 2011

Ser Humano

"Ser humano" y "ser algún humano" parecen predicados similares, pero haré notar las grandes diferencias. Por empezar, en la primera frase, la palabra "humano" es un adjetivo, pero en la segunda es un sustantivo. Por qué? Porque en la primera ocurrencia de "humano" subyace un conjunto de características (humanas) y en la última una colección de seres vivos.

Claramente, si bien se escribe siempre igual, la palabra tiene dos definiciones bien distintas. A la primera, de "ser humano", "tener características humanas", "ser de tipo humano", la llamaremos "tipo humano"; a la segunda "grupo humano". Supongamos que yo quiero saber si Javier es de tipo humano ( :D )... suponiendo que sabemos de antemano qué es SER un humano, ya que conocemos las propiedades que hacen a uno; sólo bastaría con ver que Javier cumple con todas las condiciones para demostrar la sentencia... si encuentro que Javier NO cumple con alguna de ellas, el predicado se valúa en falso. Por otro lado, la pregunta "es Javier algún humano?" (del grupo) hace referencia a otro tipo de análisis. Para saber si tal cosa es cierta, debería ejecutarse un experimento: suponiendo que yo puedo analizar a toda la raza y a cada uno de sus integrantes, bastaría con encontrar a Javier entre la población para demostrar la sentencia... si no puedo encontrar a Javier, entonces el predicado para este caso es falso.

Qué ocurre en el párrafo anterior?
1)
Como tipo: para el primer análisis, uno "arranca" suponiendo que el juicio es VERDADERO hasta que se pruebe lo contrario. Sin embargo, si la cantidad de características a chequear es muy grande, probar la sentencia se vuelve una tarea impráctica (hasta quizá imposible) aunque la idea sea claramente falsable.
Como grupo: en el segundo análisis, uno arranca asumiendo que el juicio es FALSO, hasta que se encuentre a Javier. Como el número de personas en el mundo (hoy en 2011) es de aproximadamente 7 mil millones de individuos, la refutación se vuelve impráctica (ya que hay que analizar a miles de millones para mantener el juicio en falso). Claro que hay grupos con infinitos elementos (imaginar infinitas personas), por lo que en esos casos una refutación es imposible; sin embargo bastaría con un solo Javier para mostrar la veracidad de la sentencia.

2)
Como tipo: la primera definición es análoga a un teoría del humano. Así, un modelo es un humano si cumple con todos los axiomas (atributos) de la teoría. Se trata de constructos, de abstracciones, de razonamientos e inferencias...
Como grupo: la segunda tiene que ver con la realidad, con los hechos, con lo empírico: aquí a la verdad hay que encontrarla en vez de deducirla.

3)
Como tipo: uno conoce A PRIORI lo que es "ser humano" (conocemos las cualidades que lo definen, más o menos), pero NO ocurre lo mismo con Javier: Javier sólo puede ser conocido a posteriori; o sea, luego de observar todas sus propiedades.
Como grupo: aquí ocurre lo contrario. Sabemos quién es Javier, conocemos sus atributos a priori, lo que nos permite buscar entre todos los miembros del grupo "Humano": si alguno de ellos tiene exactamente los mismos rasgos que Javier, entonces debe tratarse de él (asumimos que Javier es una entidad; es único). Sin embargo, sólo podemos conocer al grupo humano A POSTERIORI una vez que conocemos a todos sus integrantes.

4)
Como tipo: ya que no conocemos a priori a Javier, debemos hacer una observación completa de la persona para probar que se trata de un ser humano. O sea, la finalidad es saber si Javier es humano o no.
Como grupo: ya sabemos quién es Javier porque lo observamos anteriormente o tenemos conciencia de sus características de alguna otra forma. Ahora sólo basta con encontrarlo entre todas las personas: el objetivo es hallar a Javier entre la multitud... se trata de saber si existe una persona con ciertos rasgos.

5)
Como tipo: se trata de un conjunto de propiedades, pero las propiedades también son tipos. Por lo tanto, un tipo es una colección de tipos, preferentemente más "sencillos"... luego explicaré a lo que me refiero con "sencillo".
Como grupo: se trata de un conjunto de objetos de cualquier tipo (valga la redundancia). Un grupo mismo puede ser visto como un objeto también.

Y qué tiene de asombroso todo esto? Que ambos, los tipos y los grupos, son conjuntos. Ambos, de alguna manera, parecen complementarse. Y en el lenguaje tradicional de la lógica que vemos los que estudiamos ciencia o ingeniería, "x es algún humano" o "x es humano" puede escribirse como "Humano(x)", donde x es un término que representa a un objeto y Humano una fórmula (predicado o relación unaria)... también puede escribirse "x
Humano". Aunque quizá la primera notación sea más adecuada para los tipos, y la segunda para los grupos.

Conjuntos normales y singulares:

En 1901, el filósofo y matemático británico Bertrand Russell hizo una distinción entre dos clases de conjuntos, a los que llamó "normales" y "singulares". Un conjunto es normal si NO pertenece a sí mismo; o sea, no es elemento de sí mismo. Un conjunto es singular si no es normal (o sea, las nociones de "normal" y "singular" son lógicamente contrarias). Por ejemplo, el conjunto T = {"perro", "gato", 1, 2, 3} es normal, pero S = {"perro", "gato", S} es singular. Estas definiciones le permitieron al filósofo demostrar que hay una contradicción en la teoría original de conjuntos, formulada por Georg Cantor y Gottlob Frege... se trata de la "paradoja de Russell", y la muestro a continuación:



Sean:

  • N la colección de todos los conjuntos normales; 
  • S la colección de todos los conjuntos singulares.
Qué tal si nos preguntamos "es N normal?":
  • Supongamos que sí. En este caso, como N es la colección de todos los normales, N debe ser un elemento de N... pero esto es absurdo ya que eso haría que N fuera singular.
  • Debe ser entonces que N es singular. Entonces, N es elemento de S. Como N y S son complementarios, N NO pertenece a N. Absurdo, ya que esto haría que N fuera normal.
No quedan dudas que se trata de una inconsistencia en la teoría tradicional de conjuntos. Cómo se puede solucionar?


Ahora que tipos y grupos son distintos...
Una solución es limitarse a aquellos tipos y grupos que podemos definir (no es posible con todos; ver "definable set" en las referencias). Qué procesos podemos utilizar para definir unos y otros? Una forma segura de evitar paradojas es la siguiente:
  • Los tipos pueden ser definidos por "comprensión". Notemos que los atributos también son tipos; por lo tanto, cada tipo puede ser una lista de tipos más "simples"... estos deben estar definidos con anterioridad, para evitar crear "tipos singulares" y ciclos (y por ende, evitando paradojas de Russell). Entonces, sea X el tipo formado por X1, X2 y X3, con X1, X2 y X3 definidos antes que X; para chequear que x es X debería ocurrir que x es X1, que x es X2 y que x es X3. Por ejemplo, el tipo "Humano" podría estar formado por "Mamífero", "Bípedo", "Depredador", "Autoconciente", etc...
  • Los grupos pueden ser definidos por "extensión". Un grupo es un conjunto de elementos. Por ejemplo, el grupo "Humano" será el conjunto formado por "Juan X", "María Y", "Fernanda R", "Bruno O", "Javier G", etc. Hay que tener cuidado de no crear "grupos singulares" y circularidades al estilo Russell ya que sabemos que pueden traer problemas.

Finalmente, comento algunas cosas...
Al principio, antes de hacer este detallado examen ( :P ), pensé que la diferencia entre las dos nociones tenía que ver con la distinción entre "juicio analítico" y "juicio sintético" (Kant, "Crítica de la Razón Pura")... consideré a la sentencia "Javier es Humano" como una especie de juicio analítico, y a "Javier es algún Humano" como un juicio sintético. Sin embargo, podemos notar que "Javier es Humano" no es analítico ya que las palabras "Javier" y "Humano" no determinan por sí solas todas las características de la persona y de los humanos, respectivamente... no son atómicas. "Javier" es sólo una etiqueta para un conjunto más amplio de información; lo mismo pasa con "Humano". Por lo tanto, la sentencia "Javier es Humano" es SINTÉTICA A PRIORI... luego me di cuenta que el primer juicio es a priori, y el segundo a posteriori, y es esa la naturaleza de la diferencia entre ambos.


Además, en la primera versión de este artículo sostuve que el problema de la paradoja de Russell radicaba en que la teoría original de conjuntos no hace distinción entre los tipos y los grupos. Sin embargo, hoy sé que estaba equivocado: luego consideré que mi propuesta (solución) era rebuscada, poco práctica y hasta quizá incorrecta, así que la descarté en esta nueva publicación. Para hacer notar la gran brecha entre lo teórico y lo empírico, me dediqué a encontrar nuevas diferencias entre ambos mundos: a priori (tipos) y a posteriori (grupos).

El tema da para mucho análisis, así que no se trata del último artículo... pronto veremos que hay una amplia relación entre la brecha "a priori" y "a posteriori", y la disparidad entre lo "computable" y lo "incomputable"... pasando por los bucles extraños de Hofstadter (Gödel, Escher, Bach) y las autorreferencias...

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